Tijdens TEDx-Flanders (Technology, Entertainment, Design, de x staat voor een onafhankelijk georganiseerd evenement, in dit geval dus in Vlaanderen) gaf Jean-Paul van Bendegem deze voordracht over logica.
Een voorbeeld uit zijn af en toe hersenkrakende voordracht:
Stel je loopt van A naar B, maar doet dat in stappen van 50%. In principe bereik je dus nooit punt B want je legt eerst 50% van de afstand af, vervolgens weer 50% wat 75% geeft, dan weer een stap verder en we komen op 82,5% , dan 88,75%, 91,875% et cetera. Als je bij B aankomt heb je een oneindig aantal stappen afgelegd.
Stel nu dat je bij elke stap telt, stap 1, stap 2, stap 3 et cetera. Wanneer je weer bij B aankomt heb je een oneindig aantal stappen afgelegd en heb je dus een oneindig aantal nummers geteld (zeg maar alle nummers die er zijn). Stel je hebt een partner meegenomen en die telt in stappen van 2, dus 2, 4, 6, 8, 10, 12 et cetera. Wanneer jullie beiden zijn aangekomen bij B hebben jullie allebei een oneindig aantal nummers geteld, alleen heeft je partner er maar de helft geteld…
Als je dat soort dingen leuk vindt dan raad ik je aan om deze video te bekijken.
Steun Kloptdatwel
Waardeer je dit artikel? Je kunt onze site steunen met een financiële bijdrage. Dat waarderen wij dan weer! Een donatie kun je doen via dit betaalverzoek (of klik op de afbeelding hiernaast).
NB de rekening staat op naam van Maarten Koller, formeel eigenaar van deze site.
Dit is toch eigenlijk oud spul. Een gedeelte gaat over ‘beweringen’, eventueel grote verzamelingen van onderling samenhangende beweringen die je ‘theorie’ noemt. Het begrip ‘waarheid’ slaat op de link die die beweringen hebben met de realiteit. Logici leven zogezegd in de wereld van de beweringen. Die zijn al gelukkig wanneer hun beweringen p en q (of iets dergelijks) heten.
Als je het verband met de realiteit gaat leggen moet je natuurlijk oppassen. Niet alles wat er uitziet als een bewering kan op een duidelijke manier met de realiteit in verband gebracht worden.
De spreker geeft zelf een voorbeeld waarvan hij deksels goed weet dat het kant nog wal raakt, namelijk een van de paradoxen van Zeno. ‘Oneindig’ bestaat namelijk niet echt. Het is een gedachtenconstructie. Je moet heel erg oppassen als je huis-, tuin-, en keukenbegrippen in verband gaat brengen met ‘oneindig’. Toen de wiskunde in de 17de eeuw onder aanvoering van Newton en Leibniz zich serieus met het oneindige ging bezighouden heeft het anderhalve eeuw geduurd voor men een begin had gemaakt met het verwijderen van de paradoxen.
Althans in de wiskunde (waar anders “bestaat” het oneindige trouwens? in de theologie soms? de theologen weten gewoon niet waar ze het over hebben) is men er een beetje uit.
Een van de manieren om het oneindige hanteerbaar te maken is het beginsel van volledige inductie.
Dat heeft betrekking op beweringen over ‘willekeurige’ gehele positieve getallen .
Hier is een voorbeeld.
‘Als je 2 opeenvolgende getallen optelt, kun je dat doen door 2 maal het gemiddelde van het eerste en het laatste getal te nemen.’
Dat is nogal evident. Het gemiddelde van a en b is namelijk (a+b)/2 , en 2 maal dat bedrag is a+b. Dat heeft niks te maken met ‘opvolgend’.
Maar het is ook waar dat
‘Als je 3 opeenvolgende getallen optelt kun je dat doen door 3 maal het gemiddelde van het eerste en laatste getal te nemen.’
In de twee zinnen tussen aanhalingstekens kun je het getal dat er staat vervangen door elk ander getal bijv. door 100.
‘Als je 100 opeenvolgende getallen optelt, kun je dat doen door 100 maal het gemiddelde van het eerste en laatste getal te nemen.’
Als je dat begrijpt dan zie je misschien in dat het volgende waar is:
“Voor elk geheel getal N groter dan 1 geldt: Als je N opeenvolgende getallen optelt, kun je dat doen door N maal het gemiddelde van het eerste en laatste getal te nemen.’ ”
De zin die hier tussen aanhalingstekens staat kort ik even af met P(N), en de totale zin wordt dan
“Voor alle N>1, P(N)”. (We hebben kennelijk voorlopig afgesproken dat de letter N een geheel getal voorstelt.)
Het lijkt een onmogelijke klus om een streng bewijs te geven van een dergelijke bewering. Je kunt onmogelijk een eindig bewijs geven als je alle gehele getallen vanaf 2 moet doorlopen. Maar daar hebben wiskundigen een uitweg gevonden.
Het is duidelijk dat P(2) waar is (ik heb hierboven het uiterst flauwe bewijs gegeven).
Zou je misschien kunnen laten zien dat je uit P(N) de bewering P(N+1) kunt afleiden? Dat vereist enig knutselwerk (rekenen met letters en formules met haakjes erin, heel moeilijk als je het rekenen met letters alweer vergeten bent), maar laten we aannemen dat dat lukt.
Dan weet je:
(i) P(2)
(ii) uit P(2) volgt P(3)
(iii) Conclusie: P(3)
(iv) uit P(3) volgt P(4)
(v) Conclusie: P(4)
(vi) Uit P(4) volgt P(5)
(vii) Conclusie: P(5).
Aha, het is duidelijk dat als jij een getal opschrijft, zeg 54321, dan weet ik hoe ik P(54321) moet bewijzen. Ik voeg gewoon nog een boel regels (108632 regels om precies te zijn) toe en dan ben ik er.
Wij wiskundigen hebben afgesproken dat we onder dergelijke omstandigheden de bewering
“Voor alle N>1, P(N)” bewezen zullen achten. Dat noemen we het principe van volledige inductie. Het is in essentie al bedacht door Pascal.
Eigenlijk is dat het enige waarmee ‘het oneindige’ in de wiskunde bedwongen kan worden. Er zijn nog wel meer beginsels in de wiskunde bedacht (het keuzeaxioma bijvoorbeeld), maar dat ga ik nu niet precies formuleren. De reden is dat wie het keuzeaxioma op een wezenlijke manier gebruikt, eigenlijk iets doet dat gedoemd is onconstructief te blijven. Het keuzeaxioma postuleert namelijk dat je een onoverzienbare oneindigheid van keuzes allemaal tegelijk kunt maken, zoiets als van elk paar sokken er 1 uitkiezen. Bij schoenen lukt dat wel, met bijvoorbeeld ‘kies altijd de rechterschoen’, maar bij sokken moet je oneindig vaak iets doen wat niet met een algemeen recept kan. Welnu, zegt de wiskundige, dan doen we toch lekker alsof we dat wel kunnen! Het mag een wonder heten dat daardoor geen tegenstrijdigheden in het systeem komen.
Flauwekul zoals ‘als je tot oneindig telt, is het laatste getal dan even of oneven’ of ‘zijn de even gehele getallen de helft van alle gehele getallen of zijn het er evenveel’, daar doen we niet meer aan.
Let op de formulering, “bewezen geacht”. Het gaat in de wiskunde niet zozeer om “waar” of “onwaar” , want de oneindigheid der gehele getallen bestaat alleen maar in ons hoofd. We kunnen niet door directe inspectie (vergelijken met concrete feiten) nagaan of iets “waar” is, wanneer het gaat over “het oneindige”. We kunnen slechts afspreken wat we een goed bewijs vinden. Een goed bewijs verloopt volgens van tevoren afgesproken schema’s. Doorgaans bestaat een bewijs uit een eindige rij beweringen, die elk voor zich volgens vaste regels uit de voorgaande volgen. Je moet in beginsel een machine dat kunnen laten controleren.
Aan waar of onwaar hebben wiskundigen dus eigenlijk geen boodschap. Er zijn dus drie soorten beweringen in de wiskunde. Beweringen die bewezen zijn, beweringen waarvan de ontkenning bewezen is, en het restant. Het is vrijwel zeker dat er bij het restant dingen zitten waarvoor geen bewijs is.
Het fameuze bewijs van Gödel gaat daar over. Dat gaat ongeveer zo. Bekijk de bewering
G: “deze bewering heeft geen bewijs” in een consistent formeel systeem waar het beginsel van volledige inductie tot de bewijsregels hoort.
Dus de consistentie, dat wil zeggen de onmogelijkheid om 0=1 of een andere tegenspraak te bewijzen, is onderdeel van de aannames.
Het is duidelijk dat deze bewering waar is, want stel dat hij wel een bewijs had, dan zou zij zichzelf tegenspreken, en we hadden aangenomen dat zoiets niet kon.
Dat is grappig, want heb ik bewering G nu niet bewezen? Het antwoord is nee, je hebt pas een bewijs als je die aanname ook eventjes bewijst. Als een systeem namelijk een tegenspraak bevat , dan is alles (dus ook bewering G) bewijsbaar, omdat nu eenmaal in de logica een standaardregel luidt: uit een onwaarheid volgt alles.
Maar de bewering C: “het systeem is consistent” heeft een heel precieze betekenis, namelijk dat er geen opeenvolgende rij beweringen is die (1) een machinecontroleerbare correcte redenering vormen en (2) eindigen met 0=1.
Als je dus C zou kunnen bewijzen zodat het niet enkel maar een aanname is, dan had je alsnog een bewijs van G, en dus een tegenspraak. Dus ook C is onbewijsbaar, althans binnen het systeem. Daarom zegt Van Bendegem dat het onmogelijk is om “de logica” zo in elkaar te zetten dat je probleemloos over waar en onwaar van alle beweringen kunt spreken.
Waarom sprak ik zonet over vrijwel zeker? Wel, misschien zit er toch de een of andere subtiele fout in de wiskunde (i.e. het nu gangbare wiskundige systeem). Dat zo’n fout er NIET is zullen we nooit zeker weten. Mochten we zo’n fout vinden, dan kunnen we waarschijnlijk het systeem zo repareren dat althans DIE fout er niet meer in zit. Maar de gezamelijke ervaringen van alle wiskundigen is een soort experimenteel bewijs dat het waarschijnlijk wel snor zit met de wiskunde. In elk geval is de zekerheid in dit geval onvergelijkelijk veel groter dan in elk ander vakgebied.
Wat doet dat beginsel van volledige inductie daar in de aannames van Gödel? Wel, dit hele verhaal is wat versimpeld. Gödel bedacht een manier om beweringen over bewijzen om te zetten in beweringen
over getallen. Dat was een krachttoer, en speciaal ook de manier om dan G te formuleren puur in termen van gehele getallen. Beweringen over gehele getallen brengen natuurlijk met zich mee dat volledige inductie moet gelden. Zonder volledige inductie kun je namelijk niet eens bewijzen dat je alle positieve gehele getallen maar op een manier afgezien van volgorde en factoren in een product van priemfactoren kunt ontbinden. En dat is nou juist de motor achter de truc van Gödel.
Je ziet meteen dat de paradox van Zeno al vastloopt bij het afleggen van de eerste helft van de totale afstand. Want die halve afstand kun je volgens dezelfde redenering ook niet afleggen. Hoogstens aardig als gedachtenexperiment.
Dan ben je bij de pijlparadox van Zeno. De pijl is op elk ogenblik op een bepaald punt.
Maar wanneer gaat hij nou van het ene naar het andere punt? De paradox ontstaat doordat men zich de tijdstippen op de tijdas en de punten op een lijn voorstelt als sporten op een ladder.
Maar dat is onzin. Als het sporten op een ladder waren, dan waren er evenveel gaten als sporten. Maar aangezien
(1) er tussen elke twee rationale getallen een irrationaal getal is
(2) er tussen elke twee irrationale getallen een rationaal getal is
(3) de verzameling rationale getallen aftelbaar is
(4) de verzameling irrationale getallen niet aftelbaar is
is het laddermodel van de getallen niet van toepassing: er zijn onvergelijkelijk meer ‘gaten’ tussen de rationale getallen dan er rationale getallen zijn.
Sorry, dat kan ik als niet-wiskundige niet helemaal volgen. Ik zie gelukkig wel dat de paradox onzin is, zie mijn vorig commentaar.
Maar dan moet je wel uitgaan van het idee dat de ruimte continu is. Er zijn ook wel modellen van de werkelijkheid die van een discrete ruimte en tijd uitgaan, mede geïnspireerd door de Planckeenheden. Het fijne weet ik daar echter ook niet van.
Daar kan ik geen zinnig woord over zeggen, helaas!
Jan Willem, dit is voor mij iets teveel van het goede voor de maandagmorgen, maar met bovenstaande heb je alweer een hoofdstuk van een goed boek geschreven. Ik ben erg benieuwd naar de rest. 😉
Als je het leuk vind om te spelen met die oneindige (aftelbare) rijtjes, vind je het Hilbert Hotel waarschijnlijk ook wel interessant.
Ja, ik placht dat te vertellen met als clou: dus in het Hilbert Hotel is altijd plaats, maar rustig slapen ho maar (elke keer als er een nieuwe gast komt, moet iedereen verkassen).
@ Jan Willem N ,
gecompliceerde wiskundige berekeningen zijn niet mijn vak,
ik zat alleen met een praktische vraag, wanneer de weg van punt A naar B oneindig is,
is B dan oneindig of punt van aankomst? Laatste is dus onmogelijk.
Wat ik niet begrijp is uw interpretatie van ‘oneindig’ ,
is oneindig nu een puur wiskundige berekening, of een werkelijkheid?
Aangezien u opmerkt dat theologen daar niks van snappen, prima, maar als ik als leek op een goede avond naar de sterrenhemel kijk, is daar dan een feitelijke oneindigheid?
De vraag lijkt wel praktisch, maar is het niet. Wat betekent namelijk ” de weg van A naar B is oneindig” ?
Ik was begonnen met ruwweg te zeggen dat de getallenrij 0, 1, 2, 3, … oneindig is. De leden van die rij stellen eindige hoeveelheden voor. Preciezer, 3 is tevens het aantal getalle vóór 3 in de rij. 4 is het aantal getallen in de rij dat voor 4 komt. 5 is het aantal getallen dat voor 5 komt . Enzovoorts. De oneindigheid van de totale rij zit hem erin dat er bij elk getal een ‘groter’ getal is.
Mocht je denken dat jij een getal hebt bedacht dat het allergrootste in de rij is, dan tel ik daar 1 bij op. Mocht je tegensputteren dat ik ‘optellen’ nog niet gedefinieerd had in dat geval, dan wijs ik erop dat N tevens gelijk is aan het aantal voorgangers van N in de rij, en dat de verzameling bestaande uit N en zijn voorgangers dus echt 1 element meer heeft dan de verzameling van die voorgangers.
Ik kan echter niet door ‘directe inspectie’ controleren of deze truc altijd werkt. Zonet schreef ik ‘Enzovoorts’ omdat ik het in ieder geval niet expliciet kan opschrijven voor alle getallen.
Als je in de wiskunde zegt dat (om maar eens wat te noemen) een rechte lijn oneindig lang is, dan is dat eigenlijk steno voor: bij elke gegeven getal L is er een deel van die rechte lijn te vinden waarvan de lengte langer is dan L.
Het begrip ‘continue functie’ is ontwikkeld in de 19de eeuw om de paradoxen van het oneindig kleine te omzeilen. Het idee was natuurlijk: een functie is continu als bij x’en die oneindig dicht bij elkaar liggen de bijbehorende functiewaarden ook oneindig dicht bij elkaar liggen. Maar dat is geformaliseerd tot: “f is continu in x” wil zeggen dat voor elk positief getal e (hoe klein dan ook) is er een d met de eigenschap dat als |x – y| minder is dan d, dan gegarandeerd |f(x) – f(y)| ook minder is dan e.
Het is wat gecompliceerder maar op deze manier is systematisch alle vaagpraat over oneindig uit de wiskunde verwijderd, en daarmee een hele zwik paradoxen. Daar is in de geschiedenis van de wiskunde bijna de hele 19de eeuw mee gemoeid geweest.
In beginsel kun je dus over een eindige verzameling iets zeggen, desnoods door alle elementen een voor een te onderzoeken. Maar ‘oneindig’ bestaat alleen in gedachten. Er zijn, althans in de wiskunde, alleen maar bepaalde afspraken die ons vertellen wat een geldige redenering is over het oneindige.
Wie ‘s nacht naar een onbewolkte sterrenhemel kijkt, krijgt wel een illusie dat hij of zij heel ver kijkt (onze voorouders trouwens helemaal niet: die zagen een koepel met lichtjes). De lichtpuntjes die we met het blote oog zien, zijn enkele honderden lichtjaren ver (de staart van de Zwaan, Deneb is 1700 lichtjaar), Het Andromeda melkwegstelsel (M31) is 2,5 miljoen lichtjaar ver weg en als je hele goede ogen had, zou je toch slechts licht kunnen zien dat 13,7 miljard jaar onderweg is geweest. Dat is verwaarloosbaar ten opzichte van gemakkelijk te definiëren grootheden, bijvoorbeeld
10 tot de macht (10 tdm (10 tdm (10 tdm (10 tdm 10 (tdm 10 (tdm 10)))))) meter – en dat is nog steeds een eindig getal (ik had een toren van tien tienen willen maken, maar dat gaat niet op de regel). Als we T even het getal noemen dat je zo met een toren van tien tienen krijgt, kun je een nog veel groter getal verzinnen, namelijk wat je krijgt met een toren van T’s met T verdiepingen. Dat is nog steeds eindig. En nou we toch bezig zijn:
T0 = 10-toren, T1 = T0-toren, dan kunnen we doorgaan: T2= T1-toren, enzovoorts.
Als we die rij niet al stoppen bij het derde getal T2, maar doorgaan tot het T0-de getal, dan hebben we een nog verschrikkelijk veel groter getal. Maar nog steeds eindig.
Ik heb nu ongeveer vijf ‘lagen’ van de Ackermann-functie gehad (zie: http://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function ), maar die heeft er oneindig veel, pardon, daar kun je naar believen lagen aan blijven toevoegen.
Is het niet een beetje armzalig om dan een afstand van maximaal 10 tdm 26 meter al aan te zien voor oneindig? Oneindig is een sterk medicijn.
Wij wiskundigen kunnen de oneindigheid van de gehele getallen alleen beheersen door af te spreken dat we die ons als een ladder voorstellen en verder af te spreken dat wie op de onderste sport kan komen en een methode heeft om op elke plek van de ladder één stap omhoog te doen, mag zeggen dat hij alle plekken van de ladder kan bereiken.
Wiskunde is dus makkelijker dan trappen lopen, want bij echte eindige trappen moet je soms helemaal naar echt naar boven lopen. Wij zijn al tevreden als we weten hoe we kunnen blijven klimmen.
J.W.N.
bedankt voor uw antwoord.
Ik had nog wel wat vragen, maar op uw vakgebied
bent u een genie. Jammer dat ik vroeger niet die interesse had in wiskunde,
want het is al te boeiend.
De grap van Van Bendegem heeft te maken met de verzamelingenleer. Als ik het mij goed herinner (het is een tijdje geleden, de hersens kraken) gaat het als volgt.
Een verzameling heeft een aantal elementen. De ‘maat’ voor dat aantal heet kardinaliteit, de kardinaliteit van een verzameling heet het kardinaalgetal (of kardinaal) van de verzameling. Oneindige verzamelingen hebben ook een kardinaliteit.Bijvoorbeeld, de kardinaal van de verzameling van de natuurlijke getallen tussen 0 en 11 is 10. De kardinaal van de verzameling van natuurlijk getallen heet Aleph0 (aleph is de Hebreeuwse letter ). De kardinaal van de verzameling van even natuurlijke getallen is echter ook Aleph0. Zie Van Bendegem.Verzamelingen die in een 1-op-1 relatie zijn te verbinden met de verzameling van natuurlijke getallen heten ‘aftelbaar’. Die hebben allen de kardinaal Aleph0. Nu is de grap dat er een oneindige reeks aleph-getallen is (Aleph0, Aleph1, Aleph2, …) in toenemende ‘grootte’. Dus de ene oneindigheid is niet de andere. Binnen set theorie dan.Vraag: wat is de kardinaal van de verzameling van kardinalen?
je kunt natuurlijk wel opschrijven ‘de verzameling van alle kardinaalgetallen’ maar als je die frase toelaat dan kun je net zogoed spreken over ‘de verzameling van alle verzamelingen’ en ‘de verzamneling van alle verzamelingen die zichzelf niet als element bevatten’ en dan loop je uit op wat in populaire vorm de barbiersparadox is. De (een) oplossing is dat je de verzamelingentheorie axiomatiseert, en dan blijk je niuet meer zoiets als de verzameling van alle kardinalen te hebben.
Hoe subtiel het is blijkt uit het volgende. als je een verzameling X hebt, dan is de verzameling van alle deelverzamelingen van X wezenlijk groter. Dat is al bij eindige verzamelingen zo. Als X 10 elementen heeft, dan heeft die X 1024 (namelijk 2 tdm 10) deelverzamelkingen.
Als X = de natuurlijke getallen, dan is de kardinaal van de verzameling van alle deelverzamelingen van X wezenlijk groter (bewijs gaat met de barbiertruc). Die kardinaliteit noemen we c.
De bedenker van de verzamelingentheorie, Georg Cantor, piekerde zich suf of Aleph1 kleiner was, dan wel gelijk aan c. Hij en velen na hem kwamen er niet uit. Uiteindelijk was de oplossing dat je iets dergelijks niet uit de gebruikelijke axioma’s van de verzamelingentheorie kunt afleiden. De situatie is analoog met de situatie in de meetkunde, waar men er na ruim 2000 jaar piekeren achter kwam dat het zgn. parallellenaxioma niet uit de overige axioma’s volgde, en dat er verschillende (elliptische en hyperbolische) meetkundes waren waarin die axioma’s onwaar waren. Deze kwestie was al binnen een eeuw bekeken!
Je kunt als axioma best toevoegen dat c = Aleph1. Een gevolg van het keuzeaxioma (je zou kunnen zeggen dat dat een toepassing is van het keuzeaxioma) is dat in elk geval voor alle kardinalen A en B geldt A=B óf A kleiner dan B óf B kleiner dan A. Laat je het keuzeaxioma vallen, dan zijn er zelfs modellen te bedenken (vraag me niet hoe, ik zit niet in dat vak) waarin er tussen Aleph0 en c een tamelijk willekeurige partieel geordende collectie van alephs zit. Met andere woorden, dan zijn er oneindige verzamelingen X en Y zodanig dat er geen 1-1 functie van X naar een deel van Y is, en ook geen 1-1-functie van Y naar een deel van X.
Dat is allemaal leuke Spielerei, maar ik wil benadrukken dat dit zich uitstuitend in ons hoofd afspeelt. Het is een soort schaakspel met stellingen en axioma’s. Net zo min als wit en zwart in het schaakspel echte strijdmachten zijn, hebben die stellingen en axioma’s en definities van de verzamelingenleer betrekking op een externe realiteit.
PS ik ben geen genie, ik heb alleen maar geprobeerd goed op te letten in de les…
En het antwoord is: de paus!
Om met Van Bendegem te spreken: is dat waar of niet waar?
Ik heb het spraakgebruik van Arjen maar overgenomen, maar in de wiskunde spreken we volgens mij meestal niet van kardinalen maar van kardinaalgetallen (‘hoofdtelwoorden’) en van kardinaliteiten. Behalve kardinaalgetallen zijn er ook zgn. ordinaalgetallen (‘rangtelwoorden’). De kleinere ordinaalgetallen kun je heel concreet voorstellen als eindige rijtjes van natuurlijke getallen, alfabetisch geordend, dat wil zeggen eerst de eenelementrijtjes, dan de rijtjes van de vorm (0,n), dan de rijtjes van de vorm (1,n) enzovoorts; na alle twee-elementrijtjes komen de drie-elementrijtjes enzovoorts. In deze voorstelling noteren we (0,0) als ω. Dat is de kleinste bovengrens van de natuurlijke getallen in deze voorstelling . De opvolgers daarvan zijn ω+1, ω+2, … en hoe het dan verder gaat kun je zelf wel bedenken. (0,0,0) is de kleinste bovengrens van alle n ω, en vanzelfsprekend noteren we dat met ω- kwadraat. Enzovoorts. Je doorloopt alle machten van ω, en de kleinste bovengrens daarvan noteer je met ω tdm ω, na verloop van tijd ben je bij ω tdm (ω tdm ω), dan kom je bij de bovengrens van al zulke torens, daar verzin je weer een naam voor enzovoorts.
De aanname is dat je zo alsmaar door kunt gaan en dat je de zo gevormde rij kunt gebruiken om elke verzameling te ‘tellen’. (dat is het zogeheten welordeningsaxioma, wat equivalent is met het keuzeaxioma). Alle tot nu toe genoemde ordinaalgetallen zijn aftelbaar. Je denkt mischien dat ω-kwadraat (dus zogezegd de verzameling van alle rijtjes (n,m) serieus groter is dan de verzameling natuurlijke getallen, maar dat is niet waar, die kun je toch gewoon stap voor stap aflopen door eerst alle met som 0, dan alle met som 1, dan alle met som 2, enzovoorts, vroeger of later kom je dan overal langs). Volgens het axioma is er nu een kleinste bovengrens van alle aftelbare ordinaalgetallen en dat is dan de aleph-1.
Dit is meen ik allemaal al bedacht door Georg Cantor en je kunt je voorstellen dat hij door sommige wiskundigen van toen voor gek werd versleten.
Maar hij kon er toch wat mee! Hij kon bijvoorbeeld makkelijk aantonen dat er getallen moesten bestaan die geen oplossing waren van welke algebraïsche vergelijking dan ook. Cantor was trouwens tot zijn verzamlingenetheorie gekomen toen zich de noodzaak voordeed om ingewikkelde oneindige verzamelingen te bestuderen in verband met fouriertheorie.
Je kunt inderdaad (antwoord op een eerdere vraag) rekenen met kardinaalgetallen, maar dat blijft beperkt tot optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen. Optellen en vermenigvuldigen is al heel eenvoudig: de uitkomst is de grootste van de twee, behalve dat 0 maal iets is altijd 0. Zie verder
http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number
Je hebt ondertussen al gezien dat wiskundigen de mond vol hebben van ‘oneindig’, maar als het op echt tellen aankomt, dan tellen ze 0, 1, 2, veel.
Beste Jan Willem,
Hartelijk dank voor je uitleg. Ik hoop dat je me kunt helpen met een andere vraag over “oneindig”. Als oneindig + 1 = oneindig, wat is dan oneindig – 1? Ook oneindig? Als er verschillende oneindigs zijn (als je dat zo mag zeggen), wat is dan oneindig – oneindig? is dat min oneindig, nul of (plus) oneindig? Hetzelfde als je oneindig deelt door oneindig. Wordt dat een, plus oneindig of min oneindig?