De priemgetal tweeling van Oliver Sacks

In zijn boek “The Man Who Mistook His Wife For A Hat” (1985) beschrijft Oliver Sacks een intrigerend geval van het savant-syndroom. Hij voert de tweeling John en Michael op, die van jongs af aan in inrichtingen had geleefd en  autistisch, psychotisch of ernstig geretardeerd zou zijn. Anderen vóór Sacks hadden zich al met dit tweetal bemoeid en vastgesteld dat ze erg goed waren in kalenderrekenen. Dat wil zeggen dat ze van een willekeurige datum snel konden vertellen op welke dag van de week die valt.
Sacks ontdekt echter iets veel ongebruikelijkers wanneer hij de tweeling in 1966 onderzoekt. Op een gegeven moment observeert hij dat ze zescijferige getallen uitwisselen en daarbij bijzonder in hun nopjes lijken te zijn. Sacks noteert de getallen en komt er thuis met ‘tafels van machtsverheffing, factoren, logaritmen en priemgetallen’ achter dat de getallen allemaal priemgetallen zijn! Heel frappant, te meer omdat de tweeling helemaal niet in staat was om eenvoudige rekensommetjes te maken.

De volgende dag keert Sacks terug met zijn boekje met priemgetallen en begint mee te doen met de tweeling. Hij noemt echter een priemgetal van acht cijfers. Na een halve minuut (of langer) begint de tweeling te glimlachen, wat voor Sacks een duidelijk teken is dat ze én blij zijn met het nieuwe speeltje (een priemgetal groter dan zij hadden bedacht) én dat ze door hebben dat Sacks hun spelletje begrijpt.
Vervolgens noemt John, na vijf minuten nadenken, een getal van negen cijfers en zijn broer even later ook. Sacks gooit er een priemgetal van tien cijfers uit zijn boekje tegenaan, wat na weer lang denken, leidt tot een antwoord van John bestaande uit een getal van twaalf cijfers. Sacks’ boekje ging maar tot tiencijferige priemgetallen en hij onttrok zich daarom aan het spel. Een uur later zouden de broers al getallen van twintig cijfers uitwisselen!

Ik kende dit verhaal al wel, maar toen ik het onlangs in Dick Swaabs Wij zijn ons brein weer tegenkwam, las ik daarin ook dat er wat skeptische geluiden waren met betrekking tot de geloofwaardigheid van dit verhaal. Reden genoeg om dat eens verder uit te zoeken!

In 2006 schreef Makoto Yamaguchi een artikel waarin hij vraagtekens zet bij het verslag van Sacks. Concreet vraagt hij welk boek(je) Sacks gebruikt zou hebben voor zijn priemgetallen tot en met tien cijfers. Als het boek álle priemgetallen tot en met tien cijfers zou bevatten, zou het namelijk meer dan 455 miljoen getallen moeten bevatten, wat natuurlijk niet kan.
Misschien bevatte zijn boekje dan maar enkele priemgetallen van tien cijfers? Yamaguchi kon geen enkel boek vinden dat in 1966 beschikbaar zou zijn geweest en dat dit soort lijsten bevat. Sacks kon hem zelf ook niet meer vertellen welk boekje het geweest was. Ook niet meer om welke getallen het ging. Alle aantekeningen waren verloren gegaan. Maar Sacks wilde wel toegeven dat zijn boekje misschien maar priemgetallen tot acht cijfers bevatte.

Als je de beschrijving van Sacks nauwgezet terugleest (lees het relevante stuk), valt op dat hij alleen van de zescijferige getallen opmerkt dat het priemgetallen zijn én van de getallen die hij zelf uit zijn boekje opleest. In de oorspronkelijke Engelse versie staat ook expliciet dat Sacks ervan uitgaat dat het 20-cijferige getal priem was, in de Nederlandse vertaling is dat minder duidelijk. De getallen van de tweeling die uit acht of meer cijfers bestaan, heeft hij in ieder geval niet getoetst. Natuurlijk was dat lastig in 1966 zonder makkelijk toegankelijke computers, maar hij heeft niet eens een poging gedaan. Het blijft bij de mededeling dat het heel moeilijk is.
In een nawoord bij het bewuste hoofdstuk (in de Nederlandse versie) heeft Sacks het nog wel over een andere rekenmethode om getallen te testen op priemheid, maar daaruit blijkt alleen maar dat hij zelf over niet veel wiskundige bagage beschikt. Sacks komt met het romantische beeld dat de tweeling een bijzondere relatie zou hebben met getallen, dat priemgetallen als het ware vanzelf voor hun ogen zouden opduiken in de zee van alle getallen. Maar het idee dat je zonder te rekenen aan een groot getal zou kunnen ‘zien’ dat het priem is, gaat er bij mij niet in. Dat sommige idot savants sneller kunnen zijn in het herkennen van priemgetallen, zegt nog niet dat ze er andere methoden voor gebruiken. Laat staan dat ze eigenschappen van getallen kunnen ‘zien’ op een manier die niet in een algoritme beschreven kan worden.

Kunnen we het verhaal van Sacks over de zescijferige priemgetallen die de tweeling opnoemen eigenlijk ook wel geloven? Of kunnen we een andere redelijke verklaring geven voor dit op eerste gezicht toch wel opmerkelijke fenomeen? Allereerst moeten we opmerken dat het met de rekencapaciteiten van de twee heel wat minder bedroevend gesteld was dan Sacks doet voorkomen: de onderzoekers (Horwitz e.a.) die eerder (1965) hadden gesteld dat ze nauwelijks konden rekenen, schreven in 1969 dat ze in ieder geval getallen tot drie cijfers konden optellen (deze onderzoekers beschrijven alleen het kalenderrekenen, maar ik had helaas geen toegang tot die artikelen).
Hoe moeilijk is het eigenlijk om priemgetallen van zes cijfers te geven? Tussen 100.000 en 999.999 zijn er 68.906 priemgetallen. Wat is de kans dat je een priemgetal kiest als je de getallen vermijdt, waarvan je heel snel kunt zien dat ze niét priem zijn? Zo zou je wel suf moeten zijn om een even getal of een getal eindigend op 5 te kiezen, die zijn namelijk deelbaar door 2, respectievelijk 5. Velen zullen ook nog wel het trucje kennen om te bepalen of een getal deelbaar is door 3: dan neem je de som van de cijfers en dat herhaal je, totdat je ziet dat het restant een drievoud is of niet. En dan weet je het ook voor het oorspronkelijke getal. Voorbeeld: 561.251, de som van de cijfers is 20, daar weer de som van de cijfers van is 2, niet deelbaar door 3 en dus ook 561.251 niet.

Dit soort trucjes zijn er ook voor de andere lage (priem)delers 7, 11, 13, 17 enz. Aangezien de twee broers ook goed konden kalenderrekenen moeten ze haast wel geweten hebben, hoe je snel door 7 kunt delen of in ieder geval de rest bepalen bij delen door 7. Eén van de manieren om het met 7 te doen, gaat als volgt: neem van het getal dat je wil testen de laatste twee cijfers en tel daar het dubbele van alles wat er voor stond op. Het nieuwe getal is deelbaar door zeven als het oorspronkelijke getal dat ook was. Dit kun je vervolgens herhalen totdat je makkelijk ziet of het resterende getal deelbaar is. Nemen we weer als voorbeeld 561.251, dan krijg je eerst 2 x 5.612 + 51 = 11.275, dan 2 x 112 + 75 = 299, dan 2 x 2 + 99  = 103 en tenslotte 2 x 1 + 3 = 5 en daarvan is het niet al te moeilijk te zien dat het niet deelbaar door 7. En dus is 561.251 dat ook niet.
Als je de getallen van zes cijfers uitsluit waarvan je kunt zien met deze trucjes dat ze deelbaar zijn door 2, 3, 5 en 7 houdt je er nog 205.714 over. Gokken met als basis die overblijvende getallen geeft dus een kans van 33% dat je een priemgetal noemt. Dat is helemaal niet zo weinig. Als je ook de rekentruc met delen door 11 meeneemt (die eigenlijk nog makkelijker is dan die bij 7) stijgt die kans al verder naar 37%. Als deze aanpak door de tweeling werd gebruikt en Sacks maar een paar zescijferige getallen mee naar huis heeft genomen, is de kans dus niet zo héél klein dat hij bij ‘toeval’ alleen maar priemgetallen aantrof. En de vraag is ook hoe Sacks het zelf bepaalde als dat unieke boekje van hem misschien wel helemaal niet bestaan heeft.

Het zou ook interessant zijn om te weten hoe de getallen genoemd zijn. Vast niet als ‘vijfhonderd-eenenzestigduizend-tweehonderd-eenenvijftig’. In ieder geval niet goed voorstelbaar bij die getallen van twintig cijfers! Waarschijnlijker zijn ze overgebracht als telefoonnummers ‘vijf-zes-een-twee-vijf-een’. Die laatste manier zou ook een aanwijzing zijn dat de tweeling de getallen eerder als rijtje cijfers dan als getal zag. Voor de rekentrucjes maakt dat niet zoveel uit en het kan verklaren waarom ze zo ‘moeiteloos’ van zes naar acht cijferige getallen stapten en zelfs nog verder konden gaan.
Opvallend in het verhaal is namelijk dat John na het tiencijferige priemgetal van Sacks met een twaalfcijferig getal kwam. Dat zou kunnen doordat hij eerst een elfcijferig getal bedacht en constateerde dat er toch een kleine deler was met de genoemde rekentrucs. Vervolgens plak je er een oneven getal achter, waarna de tests misschien opeens wel allemaal uitkomen. Een voorbeeldje: 13.725.097.771? Ah, jammer, deelbaar door 7. Laten we er een 1 achter plakken, dan krijgen we 137.250.977.711 en dat is niet deelbaar door 2,3,5 & 7. Mooi! Maar niet priem, want gelijk aan 19 x 41.893 x 172.433

In een studie van Hermelin en O’Connor (1990, Factors and primes: a specific numerical ability. Psychological Medicine, Vol. 20) blijkt dat een andere ‘idiot savant’ waarschijnlijk een soortgelijke strategie hanteerde om uit te maken of vier- en vijfcijferige getallen priem waren. Hij sloot de getallen deelbaar door 3 en 11 uit en maakte al doende toch nog redelijk wat fouten.

Wat had Sacks kunnen doen om zijn verhaal beter te onderbouwen? Op zijn minst had hij zescijferige getallen kunnen noemen die niet zo makkelijk waren te ontmaskeren als niet-priem. Bijvoorbeeld 254.539 = 331 x 769, en kijken hoe de tweeling dan zou reageren (331 en 769 zijn priem, voor de duidelijkheid). Misschien waren ze dan wel net zo blij geweest. En dat zou dan een aanwijzing zijn geweest dat ze eigenlijk alleen maar getallen met een kleine priemdeler uitsloten.
Hoe het precies zit, zullen we waarschijnlijk nooit weten als Sacks er zelf niet wat meer over uit de doeken wil doen. Je krijgt toch een beetje de indruk dat hij het verhaal wat mooier heeft gemaakt dan het in werkelijkheid was. Het kalenderrekenen van het duo is al best indrukwekkend, maar komt vaker voor in de litteratuur. De verleiding was misschien groot om met een nog iets sterker verhaal te komen. En waarom schreef hij het eigenlijk pas in 1985 op? Sacks was op zijn minst weinig geïnteresseerd (of wiskundig niet voldoende onderlegd) om het écht goed uit zoeken. Een goed verhaal moet je natuurlijk ook eigenlijk niet willen doodchecken … sorry.