• Skip to primary navigation
  • Skip to main content
  • Skip to primary sidebar

Kloptdatwel?

  • Home
  • Onderwerpen
    • (Bij)Geloof
    • Columns
    • Complottheorieën
    • Factchecking
    • Gezondheid
    • Hoax
    • Humor
    • K-d-Weetjes
    • New Age
    • Paranormaal
    • Pseudowetenschap
    • Reclame Code Commissie
    • Skepticisme
    • Skeptics in the Pub
    • Skeptische TV
    • UFO
    • Wetenschap
    • Overig
  • Skeptisch Chatten
  • Werkstuk?
  • Contact
  • Over Kloptdatwel.nl
    • Activiteiten agenda
    • Colofon – (copyright info)
    • Gedragsregels van Kloptdatwel
    • Kloptdatwel in de media
    • Interessante Links
    • Over het Bol.com Partnerprogramma en andere affiliate programma’s.
    • Social media & Twitter
    • Nieuwsbrief
    • Privacybeleid
    • Skeptisch Chatten
      • Skeptisch Chatten (archief 1)
      • Skeptisch Chatten (archief 2)
      • Skeptisch Chatten (archief 3)
      • Skeptisch Chatten (archief 4)
You are here: Home / Wetenschap / De priemgetal tweeling van Oliver Sacks

De priemgetal tweeling van Oliver Sacks

22 December 2011 by Pepijn van Erp 8 Comments

De priemgetal tweeling van Oliver Sacks 1In zijn boek “The Man Who Mistook His Wife For A Hat” (1985) beschrijft Oliver Sacks een intrigerend geval van het savant-syndroom. Hij voert de tweeling John en Michael op, die van jongs af aan in inrichtingen had geleefd en  autistisch, psychotisch of ernstig geretardeerd zou zijn. Anderen vóór Sacks hadden zich al met dit tweetal bemoeid en vastgesteld dat ze erg goed waren in kalenderrekenen. Dat wil zeggen dat ze van een willekeurige datum snel konden vertellen op welke dag van de week die valt.
Sacks ontdekt echter iets veel ongebruikelijkers wanneer hij de tweeling in 1966 onderzoekt. Op een gegeven moment observeert hij dat ze zescijferige getallen uitwisselen en daarbij bijzonder in hun nopjes lijken te zijn. Sacks noteert de getallen en komt er thuis met ‘tafels van machtsverheffing, factoren, logaritmen en priemgetallen’ achter dat de getallen allemaal priemgetallen zijn! Heel frappant, te meer omdat de tweeling helemaal niet in staat was om eenvoudige rekensommetjes te maken.
De priemgetal tweeling van Oliver Sacks 2

De volgende dag keert Sacks terug met zijn boekje met priemgetallen en begint mee te doen met de tweeling. Hij noemt echter een priemgetal van acht cijfers. Na een halve minuut (of langer) begint de tweeling te glimlachen, wat voor Sacks een duidelijk teken is dat ze én blij zijn met het nieuwe speeltje (een priemgetal groter dan zij hadden bedacht) én dat ze door hebben dat Sacks hun spelletje begrijpt.
Vervolgens noemt John, na vijf minuten nadenken, een getal van negen cijfers en zijn broer even later ook. Sacks gooit er een priemgetal van tien cijfers uit zijn boekje tegenaan, wat na weer lang denken, leidt tot een antwoord van John bestaande uit een getal van twaalf cijfers. Sacks’ boekje ging maar tot tiencijferige priemgetallen en hij onttrok zich daarom aan het spel. Een uur later zouden de broers al getallen van twintig cijfers uitwisselen!

Ik kende dit verhaal al wel, maar toen ik het onlangs in Dick Swaabs Wij zijn ons brein weer tegenkwam, las ik daarin ook dat er wat skeptische geluiden waren met betrekking tot de geloofwaardigheid van dit verhaal. Reden genoeg om dat eens verder uit te zoeken!

In 2006 schreef Makoto Yamaguchi een artikel waarin hij vraagtekens zet bij het verslag van Sacks. Concreet vraagt hij welk boek(je) Sacks gebruikt zou hebben voor zijn priemgetallen tot en met tien cijfers. Als het boek álle priemgetallen tot en met tien cijfers zou bevatten, zou het namelijk meer dan 455 miljoen getallen moeten bevatten, wat natuurlijk niet kan.
Misschien bevatte zijn boekje dan maar enkele priemgetallen van tien cijfers? Yamaguchi kon geen enkel boek vinden dat in 1966 beschikbaar zou zijn geweest en dat dit soort lijsten bevat. Sacks kon hem zelf ook niet meer vertellen welk boekje het geweest was. Ook niet meer om welke getallen het ging. Alle aantekeningen waren verloren gegaan. Maar Sacks wilde wel toegeven dat zijn boekje misschien maar priemgetallen tot acht cijfers bevatte.

Als je de beschrijving van Sacks nauwgezet terugleest (lees het relevante stuk), valt op dat hij alleen van de zescijferige getallen opmerkt dat het priemgetallen zijn én van de getallen die hij zelf uit zijn boekje opleest. In de oorspronkelijke Engelse versie staat ook expliciet dat Sacks ervan uitgaat dat het 20-cijferige getal priem was, in de Nederlandse vertaling is dat minder duidelijk. De getallen van de tweeling die uit acht of meer cijfers bestaan, heeft hij in ieder geval niet getoetst. Natuurlijk was dat lastig in 1966 zonder makkelijk toegankelijke computers, maar hij heeft niet eens een poging gedaan. Het blijft bij de mededeling dat het heel moeilijk is.
In een nawoord bij het bewuste hoofdstuk (in de Nederlandse versie) heeft Sacks het nog wel over een andere rekenmethode om getallen te testen op priemheid, maar daaruit blijkt alleen maar dat hij zelf over niet veel wiskundige bagage beschikt. Sacks komt met het romantische beeld dat de tweeling een bijzondere relatie zou hebben met getallen, dat priemgetallen als het ware vanzelf voor hun ogen zouden opduiken in de zee van alle getallen. Maar het idee dat je zonder te rekenen aan een groot getal zou kunnen ‘zien’ dat het priem is, gaat er bij mij niet in. Dat sommige idot savants sneller kunnen zijn in het herkennen van priemgetallen, zegt nog niet dat ze er andere methoden voor gebruiken. Laat staan dat ze eigenschappen van getallen kunnen ‘zien’ op een manier die niet in een algoritme beschreven kan worden.

De priemgetal tweeling van Oliver Sacks 3
Oliver Sacks (foto van Mars Hill Church via Flickr)

Kunnen we het verhaal van Sacks over de zescijferige priemgetallen die de tweeling opnoemen eigenlijk ook wel geloven? Of kunnen we een andere redelijke verklaring geven voor dit op eerste gezicht toch wel opmerkelijke fenomeen? Allereerst moeten we opmerken dat het met de rekencapaciteiten van de twee heel wat minder bedroevend gesteld was dan Sacks doet voorkomen: de onderzoekers (Horwitz e.a.) die eerder (1965) hadden gesteld dat ze nauwelijks konden rekenen, schreven in 1969 dat ze in ieder geval getallen tot drie cijfers konden optellen (deze onderzoekers beschrijven alleen het kalenderrekenen, maar ik had helaas geen toegang tot die artikelen).
Hoe moeilijk is het eigenlijk om priemgetallen van zes cijfers te geven? Tussen 100.000 en 999.999 zijn er 68.906 priemgetallen. Wat is de kans dat je een priemgetal kiest als je de getallen vermijdt, waarvan je heel snel kunt zien dat ze niét priem zijn? Zo zou je wel suf moeten zijn om een even getal of een getal eindigend op 5 te kiezen, die zijn namelijk deelbaar door 2, respectievelijk 5. Velen zullen ook nog wel het trucje kennen om te bepalen of een getal deelbaar is door 3: dan neem je de som van de cijfers en dat herhaal je, totdat je ziet dat het restant een drievoud is of niet. En dan weet je het ook voor het oorspronkelijke getal. Voorbeeld: 561.251, de som van de cijfers is 20, daar weer de som van de cijfers van is 2, niet deelbaar door 3 en dus ook 561.251 niet.

Dit soort trucjes zijn er ook voor de andere lage (priem)delers 7, 11, 13, 17 enz. Aangezien de twee broers ook goed konden kalenderrekenen moeten ze haast wel geweten hebben, hoe je snel door 7 kunt delen of in ieder geval de rest bepalen bij delen door 7. Eén van de manieren om het met 7 te doen, gaat als volgt: neem van het getal dat je wil testen de laatste twee cijfers en tel daar het dubbele van alles wat er voor stond op. Het nieuwe getal is deelbaar door zeven als het oorspronkelijke getal dat ook was. Dit kun je vervolgens herhalen totdat je makkelijk ziet of het resterende getal deelbaar is. Nemen we weer als voorbeeld 561.251, dan krijg je eerst 2 x 5.612 + 51 = 11.275, dan 2 x 112 + 75 = 299, dan 2 x 2 + 99  = 103 en tenslotte 2 x 1 + 3 = 5 en daarvan is het niet al te moeilijk te zien dat het niet deelbaar door 7. En dus is 561.251 dat ook niet.
Als je de getallen van zes cijfers uitsluit waarvan je kunt zien met deze trucjes dat ze deelbaar zijn door 2, 3, 5 en 7 houdt je er nog 205.714 over. Gokken met als basis die overblijvende getallen geeft dus een kans van 33% dat je een priemgetal noemt. Dat is helemaal niet zo weinig. Als je ook de rekentruc met delen door 11 meeneemt (die eigenlijk nog makkelijker is dan die bij 7) stijgt die kans al verder naar 37%. Als deze aanpak door de tweeling werd gebruikt en Sacks maar een paar zescijferige getallen mee naar huis heeft genomen, is de kans dus niet zo héél klein dat hij bij ‘toeval’ alleen maar priemgetallen aantrof. En de vraag is ook hoe Sacks het zelf bepaalde als dat unieke boekje van hem misschien wel helemaal niet bestaan heeft.

De priemgetal tweeling van Oliver Sacks 4
Sacks noemt de 'zeef van Eratosthenes' nog als onpraktisch algoritme om grotere priemgetallen te vinden. Dat klopt, maar om een getal op priemheid te toetsen zijn er eenvoudiger middelen.

Het zou ook interessant zijn om te weten hoe de getallen genoemd zijn. Vast niet als ‘vijfhonderd-eenenzestigduizend-tweehonderd-eenenvijftig’. In ieder geval niet goed voorstelbaar bij die getallen van twintig cijfers! Waarschijnlijker zijn ze overgebracht als telefoonnummers ‘vijf-zes-een-twee-vijf-een’. Die laatste manier zou ook een aanwijzing zijn dat de tweeling de getallen eerder als rijtje cijfers dan als getal zag. Voor de rekentrucjes maakt dat niet zoveel uit en het kan verklaren waarom ze zo ‘moeiteloos’ van zes naar acht cijferige getallen stapten en zelfs nog verder konden gaan.
Opvallend in het verhaal is namelijk dat John na het tiencijferige priemgetal van Sacks met een twaalfcijferig getal kwam. Dat zou kunnen doordat hij eerst een elfcijferig getal bedacht en constateerde dat er toch een kleine deler was met de genoemde rekentrucs. Vervolgens plak je er een oneven getal achter, waarna de tests misschien opeens wel allemaal uitkomen. Een voorbeeldje: 13.725.097.771? Ah, jammer, deelbaar door 7. Laten we er een 1 achter plakken, dan krijgen we 137.250.977.711 en dat is niet deelbaar door 2,3,5 & 7. Mooi! Maar niet priem, want gelijk aan 19 x 41.893 x 172.433

In een studie van Hermelin en O’Connor (1990, Factors and primes: a specific numerical ability. Psychological Medicine, Vol. 20) blijkt dat een andere ‘idiot savant’ waarschijnlijk een soortgelijke strategie hanteerde om uit te maken of vier- en vijfcijferige getallen priem waren. Hij sloot de getallen deelbaar door 3 en 11 uit en maakte al doende toch nog redelijk wat fouten.

Wat had Sacks kunnen doen om zijn verhaal beter te onderbouwen? Op zijn minst had hij zescijferige getallen kunnen noemen die niet zo makkelijk waren te ontmaskeren als niet-priem. Bijvoorbeeld 254.539 = 331 x 769, en kijken hoe de tweeling dan zou reageren (331 en 769 zijn priem, voor de duidelijkheid). Misschien waren ze dan wel net zo blij geweest. En dat zou dan een aanwijzing zijn geweest dat ze eigenlijk alleen maar getallen met een kleine priemdeler uitsloten.
Hoe het precies zit, zullen we waarschijnlijk nooit weten als Sacks er zelf niet wat meer over uit de doeken wil doen. Je krijgt toch een beetje de indruk dat hij het verhaal wat mooier heeft gemaakt dan het in werkelijkheid was. Het kalenderrekenen van het duo is al best indrukwekkend, maar komt vaker voor in de litteratuur. De verleiding was misschien groot om met een nog iets sterker verhaal te komen. En waarom schreef hij het eigenlijk pas in 1985 op? Sacks was op zijn minst weinig geïnteresseerd (of wiskundig niet voldoende onderlegd) om het écht goed uit zoeken. Een goed verhaal moet je natuurlijk ook eigenlijk niet willen doodchecken … sorry.

Steun Kloptdatwel

De priemgetal tweeling van Oliver Sacks 5Waardeer je dit artikel? Je kunt onze site steunen met een financiële bijdrage. Dat waarderen wij dan weer! Een donatie kun je doen via dit betaalverzoek (of klik op de afbeelding hiernaast).

NB de rekening staat op naam van Maarten Koller, formeel eigenaar van deze site.

« Previous Entry
FBTO vergoedt ‘echte’ alternatieve geneeswijzen
Next Entry »
Slaapverlamming

Filed Under: Wetenschap Tagged With: idiot savant, Oliver Sacks, priemgetallen

Reader Interactions

Comments

  1. Dennis says

    22 December 2011 at 09:20

    “Als het boek álle priemgetallen tot en met tien cijfers zou bevatten, zou het namelijk meer dan 455 miljoen getallen moeten bevatten” klopt niet. Moet zijn (in Wolfram|Alpha) primepi(1000000000) en dat is 50847534

    Log in to Reply
  2. Dennis says

    22 December 2011 at 09:25

    Woeps! Het klopt wél… eigenlijk is het primepi(9999999999)… vandaar die 455 miljoen…

    Log in to Reply
  3. Jan Willem Nienhuys says

    22 December 2011 at 10:59

    Voor bepaalde cryptologische methoden zijn heel grote priemgetallen nodig.  De reden is dat als p en q priem zijn, men wél kan zien dat p maal q geen priemgetal is, maar dat de ontbinding vinden een hele toer is. Hoe vinden cryptologen grote priemgetallen?

    In de eerste plaats zijn, zoals Pepijn aangeeft, de priemgetallen tamelijk dik gezaaid. Bij getallen van n cijfers heel ruw gemiddeld om de 2,3 * n getallen. Dus als je getallen met kleine delers overslaat, kom je er zoals Pepijn opmerkt al vlug een tegen.  Een priemgetal p heeft de eigenschap dat voor een willekeurig getal a (a=2, 3, 5,…) geldt dat a in de macht p-1 rest 1 oplevert na deling door p. Dat ziet eruit als een gigantische rekenklus, maar omdat het alleen maar gaat om de rest na deling door p. Een je hoeft alleen maar de p-1-de macht te berekenen en met een combinatie van vermenigvuldigen en kwadrateren is het aantal rekenstappen evenredig met het aantal cijfers van p zelf.

    Als je het handig doet zorg je dat je zoveel mogelijk kwadrateringsstappen aan het eind doet. Dan moet je dus op het laatst een rij enen krijgen (telkens na het nemen van de rest na deling door p), en als je erover nadenkt, moet je vlak voordat je 1 krijgt p-1 vinden. (Voorbeeld 341: Als je deze methode mechanisch volgt, bereken je dus 2 in de macht 85, dan 2 tot macht 170 dan 2 tot de macht 340; maar omdat 2 tot de macht 10 al 1 oplevert kun je inzien dat je zo de rij 32, 1, 1, 1 krijgt. Dan is 341 geen priemgetal want  32 is niet 341 – 1). Met deze methoden is voor niet te veel cijfers (enkele tientallen) tamelijk vlug met een computer na te gaan of een getal priem is. Voor de beroemde Mersenne-getallen, getallen van vorm (2 in de macht priem) -1, hoef je maar 1 maal een dergelijke test (niet precies deze) te doen om na te gaan of al dan niet zeker priem zijn.

    Log in to Reply
    • Pepijn van Erp says

      22 December 2011 at 11:27

      Die test werkt wel 100% zeker om getallen als niet-priem te ontmaskeren, maar het omgekeerde is niet waar. Er zijn samengestelde getallen die er ook aan voldoen, nl. de Carmichael-getallen, maar die zijn wel uiterst zeldzaam. Blijkbaar wordt de test daarom wel zeker genoeg geacht om priemgetallen te vinden voor cryptologische doeleinden.

      Log in to Reply
      • Jan Willem Nienhuys says

        22 December 2011 at 12:42

        Wat ik beschreef was de verfijning van Miller van de Eulertest. De Carmichael-getallen zijn getallen n die niet priem zijn maar waarvoor a tdm n-1 toch 1 is (rest na deling door n).

        Maar ook de Carmichael-getallen vallen door de mand bij deze Miller-test. Men kan bewijzen dat als n geen priemgetal is, dan is hooguit een kwart van de getallen 1,…,n-1 zo’n a waarvoor deze Millertest faalt.

        Formeel gesproken zal de kans dat een niet-priem een Miller-test toch passeert dus een kwart of minder zijn, dus de kans dat een niet-priem van 100 cijfers een paar honderd van die tests overleeft is astronomisch klein. Dat is de reden dat de Miller-test voor cryptologische doelen volstaat. Generalisaties van de Miller-test geven strenge bewijzen tot 80 cijfers, althans dat was ruim tien jaar geleden zo.

        In feite volstaat tot 25 miljoen de Miller-test met a=2, 3, 5 . Wil je tot 25 miljard gaan, dan moet je ook 7 gebruiken, het enige Carmichael-getal dat je dan nog mist is 151 maal 751 maal 28351 (ruim 3 miljard) , maar dat valt door de mand met 11.

        Het kleinste Carmichael getal is n=561. Als je de Millertest daarmee doet: n-1=35×16;
        2 tdm 35 =263 (modulo 561). Achtereenvolgens kwadrateren geeft 166, 67, 1, 1 en je ziet dat je op 1 uitkomt zonder langs -1 (i.e. 560) te komen.

        Log in to Reply
        • Pepijn van Erp says

          22 December 2011 at 13:01

          Ah, ik zie het nu! Had ik het toch weer net te snel gelezen, werd iets duidelijker toen ik je voorbeeld nauwkeurig las.

          Het staat met formules en voorbeeld ook wel goed uitgelegd in de Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Miller-Rabin_primality_test

          *** meer koffie nodig deze ochtend voor ingewikkelde wiskunde ***

  4. Pepijn van Erp says

    22 December 2011 at 12:38

    Ik kom net nog de suggestie tegen dat Sacks het volgende boek zou hebben kunnen gebruikt:

    D. N. Lehmer, List of Prime Numbers from 1 to 10,006,721. Washington, D. C., Carnegie Institution of Washington, 1914. xvi+133 pp.
    http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Lehmer_Derrick_N.html

    Maar dat zijn dan de priemgetallen tot en met 7 cijfers en een paar met 8. De zescijferige getallen van de tweeling zou hij er wel mee gecheckt kunnen hebben.

    Log in to Reply

Trackbacks

  1. 2deep-rooted says:
    12 January 2022 at 23:47

    1presentation

    Log in to Reply

Leave a Reply Cancel reply

You must be logged in to post a comment.

Primary Sidebar

Steun ons via:
Een aankoopbol.com Partner (meer info)
Of een donatie

Schrijf je in voor de nieuwsbrief!

Skeptic RSS feed

  • Skepsis
  • SKEPP
  • SBM
Skepter 36.1 – Lentenummer 2023
25 February 2023 - SkepsisBlogBeheerder
Skepter 36.1 – Lentenummer 2023

De eerste Skepter van 2023 is eergisteren van de drukker gekomen en zit in de verzending. Hij zal ergens komende week wel bij abonnees en donateurs bezorgd worden. Weer veel moois in dit nummer. Herkent u zich in het portret hier rechts? Dit is volgens de kunstmatig intelligente plaatjesgenerator DALL·E hoe een skepticus eruitziet. Gert Jan van ’t ... Meer lezen Het bericht Skepter 36.1 – Lentenummer 2023 verscheen eerst op Skepsis Blog. [...]

Skepter 35.4 – Winternummer 2022
1 December 2022 - Pepijn van Erp
Skepter 35.4 – Winternummer 2022

Brengen genetici de mammoet, de dodo en de buidelwolf weer terug? Komt kernfusie er sneller dan velen denken? Het nut van sciencefiction als lesmateriaal. Een interview met pendelwinnaar Marieke Kuypers, en nog veel meer in dit nummer. Het bericht Skepter 35.4 – Winternummer 2022 verscheen eerst op Skepsis Blog. [...]

Piramidependelprijs voor Marieke Kuypers en Diederik Jekel feliciteert Skepsis met 35-jarig bestaan
20 November 2022 - Pepijn van Erp

Marieke Kuypers onderscheiden door Skepsis voor haar video's op TikTok en Diederik Jekel feliciteert Skepsis met een feestrede met het 35-jarig bestaan Het bericht Piramidependelprijs voor Marieke Kuypers en Diederik Jekel feliciteert Skepsis met 35-jarig bestaan verscheen eerst op Skepsis Blog. [...]

Uitreiking Zesde Vijs en Skeptische Put 2022 - 29 april
25 March 2023 - Jan Van Haver

De Zesde Vijs wordt toegekend aan iemand die zich het voorbije jaar verdienstelijk heeft gemaakt in het verspreiden van objectieve kennis inzake pseudo-wetenschap en het paranormale. De Skeptische Put wordt jaarlijks gegeven aan een persoon of organisatie die zich uitzonderlijk onkritisch heeft opgesteld, en de verspreiding of popularisering van kennis en wetenschap totaal verkeerd heeft begrepen. [...]

Komeet van Halley in “Het verhaal van Vlaanderen”?
13 February 2023 - Paul De Belder

De aflevering van ‘Het verhaal van Vlaanderen’ over de Guldensporenslag heeft ongetwijfeld de meeste commentaar opgewekt. Ook vanuit de astronomie valt er kritiek op te leveren. Inderdaad begon de bewuste aflevering met een voorstelling van de komeet van Halley.  Bij het kijken dacht ik heel even dat ik in een documentaire over sterrenkunde en niet over geschiedenis zat. Maar meteen werd de band duidelijk. [...]

Desmet dwaalt, draait en duikt
9 January 2023 - Paul De Belder

Hoewel de uitspraken van Desmet over de coronamaatregelen al langer op veel kritiek van factcheckers stuiten, kwam hij pas recentelijk echt flink in opspraak. Op een tournee langs verschillende Amerikaanse talkshows en podcasts om de Engelse vertaling van zijn boek te promoten, was hij ook te gast bij Infowars, de show van Alex Jones. Het optreden bij deze veroordeelde complotdenker en het doen van nogal stellige uitspraken over openhartoperaties onder hypnose waren de aanleiding voor een hausse aan kritische artikelen in de Vlaamse media. [...]

Verbicide: Language as a Pandemic Casualty
28 March 2023 - Jonathan Howard

Natural infection is getting infected. It's like water and H20.  It's amazing that a doctor is trying to convince us otherwise. The post Verbicide: Language as a Pandemic Casualty first appeared on Science-Based Medicine. [...]

Autism prevalence increases to 1 in 38, and antivaxxers blame vaccines without using the word “vaccine”
27 March 2023 - David Gorski

The CDC updated its estimates for the prevalence of autism spectrum disorders. Predictably, antivaxxers blame the increasing prevalence of ASDs reported, particularly in Black children, on "environmental factors," which is antivax code for, "Vaccines are to blame." The post Autism prevalence increases to 1 in 38, and antivaxxers blame vaccines without using the word “vaccine” first appeared on Science-Based Medicine. [...]

Medical “Conservatives” Are Medical Radicals
24 March 2023 - Jonathan Howard

Any doctor who pushes for the repeated mass infection of unvaccinated babies and toddlers with a novel, mutating virus, when an effective vaccine is available, is a medical radical. The post Medical “Conservatives” Are Medical Radicals first appeared on Science-Based Medicine. [...]

Recente reacties

  • Hans1263 on De linke weekendbijlage (11-2023)Ik heb er ieder jaar weer behoorlijk last van. Meneer Overbeek in Havelte op zijn racefiets kan zich dat niet
  • Renate1 on De linke weekendbijlage (11-2023)En dan krijgen we dus weer dit soort gedoe over het afschaffen van zomertijd: https://www.volkskrant.nl/columns-opinie/de-pandemie-en-queen-
  • Renate1 on De linke weekendbijlage (11-2023)Tja, geen idee. Ik vraag me in de eerste plaats af of de bevolking zit te wachten op de afschaffing
  • Hans1263 on De linke weekendbijlage (11-2023)En dan vervolgens "Den Haag" waar men zich zich afvraagt hoe die kloof tussen bevolking en overheid.toch is veroorzaakt. Hoe
  • Klaas van Dijk on De zaak-basrakarekietLOWI komt in een recent 'advies' over een ondertussen teruggetrokken antivax preprint van VU hoogleraar Ronald Meester terug op de

Archief Kloptdatwel.nl

Copyright © 2023 · Metro Pro on Genesis Framework · WordPress · Log in