Stel – je bent bang dat iemand een bom meeneemt aan boord van het vliegtuig. Nou ja, zo vaak komt dat niet voor, blijkt uit een klein onderzoek. Toch besluit je geen enkel risico te nemen. Uit je onderzoekje blijkt dat het nog nooit is voorgekomen dat er twee bommen aan boord van een vliegtuig zijn gevonden. Helpt het als je zelf een bom zou meenemen aan boord? Zit je dan veilig omdat twee bommen aan boord nog nooit is voorgekomen?
Het antwoord is natuurlijk dat het niet uitmaakt of je zelf wel of niet een bom meeneemt aan boord. Immers – beide gebeurtenissen zijn onafhankelijk van elkaar. De kans op een tweede bom aan boord blijft erg klein maar verandert niet door het zelf meenemen van een bom.
Dit type redeneringen is voor mensen erg lastig.
Wij zijn over het algemeen slecht met het schatten van kansen. Helemaal wanneer we in het dagelijkse leven te maken krijgen met toeval. Een vriend belt op terwijl je net aan hem dacht (typische maar onterechte reactie: dat kan geen toeval zijn), op een blauwe maandagochtend heb je alle verkeerslichten tegen of je wint tien keer achtereen met rock-scissors-paper. Het zijn dingen die gebeuren en waar je geen bijzondere betekenis aan kunt toekennen. Maar in het dagelijkse leven blijkt dit juist veel te gebeuren.
Een bekend voorbeeld waar onze problematiek met kansberekening mooi ten toon wordt gesteld is het driedeurenprobleem, in het Nederlands ook wel het Willem-Ruis probleem genoemd (naar de bekende spelpresentator op TV):
Je doet mee aan een spelshow en je hebt de keuze uit drie deuren. Achter 1 deur staat een mooie auto, achter de overige twee een geitje. Je kiest een deur. Vervolgens opent de gameshowhost een van de twee overgebleven deuren. Een geitje verschijnt. Willem Ruis stelt jouw daarop de vraag of je nog van deur wil wisselen. Wissel je van deur of blijf je bij je eerste keuze?
Ook al ken je hem, hij blijft lastig.
Hoe goed ben jij met cijfers en kansen? Op de website van columnist Hans van Maanen kwam ik een testje van vier vragen tegen. (link naar de vragen vragen, als dit niet werkt kun je naar de website van Hans van Maanen en dan naar het 5e bericht ‘gecijferd’). Stem met de voorwaarden in, geef antwoord op de vragen, vul een aantal achtergrondkenmerken in en vervolgens krijg je de uitslag. Je mag pen en potlood gebruiken, maar geen rekenmachine.
Update 18-04 – 15:00
Let op! De antwoorden op enkele van bovenstaande vragen of testjes worden in de commentaren hieronder besproken. Pas dus op voor ‘spoilers’.
Illustratie voorpagina: het driedeurenprobleem (wikipedia).
Steun Kloptdatwel
Waardeer je dit artikel? Je kunt onze site steunen met een financiële bijdrage. Dat waarderen wij dan weer! Een donatie kun je doen via dit betaalverzoek (of klik op de afbeelding hiernaast).
NB de rekening staat op naam van Maarten Koller, formeel eigenaar van deze site.
Leuke test. Jammer dat je de antwoorden niet ziet. Maar gelukkig scoorde ik “beter dan 90% van de hoog opgeleide mensen”. Wel even linkje aanpasen naar: http://unipark.de/uc/Cokely/91a4/
Link aangepast, dank.
Nog maar eens aanpassen dan? De link van het testje in de tekst werkt niet, en die van Johan wel.
Zo gauw Gert Jan uit het bewerkingsscherm gaat pas ik de link op de juiste manier aan 😉
edit: het zou nu moeten werken
Ik heb het opnieuw aangepast!
In het verhaal over het driedeurenprobleem gaat het om het berekenen van kansen. Kansen kun je echter alleen berekenen als het om een bekend kansproces gaat. In de gegeven schets van het probleem ontbreekt juist de beschrijving van het desbetreffende kansmechanisme. In het bijzonder ontbreekt het gegeven dat de gameshowhost (1) weet waar de auto staat en (2) verplicht is een deurtje te openen waar een geit achter staat, en strikt genomen zelfs (3) als de auto gekozen is dat er volgens het toeval een van de twee mogelijkheden gekozen wordt en dat die dan gelijke kansen hebben.
De uitkomst is namelijk anders wanneer de gameshowhost niet weet waar de auto staat en op goed geluk een niet-gekozen deur opent (en er dan toevallig geen auto staat), en als de gameshowhost ook nog kan kiezen of hij wel of niet een deurtje opent en die keuze laat afhangen van (a) de keuze van de quizdeelnemer en (b) hoe aardig hij de quizdeelnemer vindt, dan valt er helemaal niets meer te rekenen.
Die gameshowhost in het probleem is een afleidingsmanoeuvre om het moeilijk te maken, en die geiten ook. Je kunt het probleem vereenvoudigen tot: na het aanwijzen van een deur mag de deelnemer nog kiezen. Hij of zij mag óf hebben wat achter de aangewezen deur staat óf alles wat achter alle niet-aangewezen deuren staat. In die vorm is de oplossing makkelijker te begrijpen.
Bij persoonlijke ervaringen denk je al gauw dat iets heel onwaarschijnlijk is, maar je weet vaak nooit welk geheel van ervaringen je moet nemen om de kans te berekenen. Laat ik een echt voorbeeld geven. Onlangs kwam bij het ontbijt het gesprek op het woord ‘makaber’ naar aanleiding van een krantenbericht over Zuid-Amerikaanse gevangenissen waarin dat woord voorkwam. Ik noemde de Danse Macabre van Camille Saint Saëns (http://www.youtube.com/watch?v=YyknBTm_YyM ) en neuriede zelfs een stukje van de melodie. Jeugdsentiment, want het was een van de eerste grammofoonplaten die ik bezat (ca. 1958). Later die morgen arriveerde per post een aflevering van een maandblad met daarin een gedichtje van een kennis van mij over de Danse Macabre, geïllustreerd met middeleeuwse houtsnede.
Heel toevallig, maar hoe bereken je nou wat de kans daarop (of iets vergelijkbaars) is? Ik heb het de vriend gemaild, en die vertelde een nog veel verbazingwekkender en indringender persoonlijke ervaring.
Ik was wel benieuwd, maar na de eerste vraag word ik al naar de uitgang geleid met de mededeling dat ik de test al gedaan zou hebben. Vreemd! Misschien was ik zo slecht dat ik het verdrongen heb en moet ik onder hypnose mijn gereconstrueerde testresultaat toch eens onder ogen zien.
Ik had hetzelfde voor. Neem de link van Johan Kapteyn, die werkt wel.
For the record: ik had ook +90%. Ik denk dat de nuances vooral in de laatste vraag gaan zitten. Daar is het geen exact getal dat je moet kiezen met als gevolg dat het moeilijk in te schatten is hoe goed je daar op scoort.
Ook “beter dan 90%”. En inderdaad, de laatste vraag is een beetje raar, gezien de kwantificering. Dat had een ja/nee vraag moeten zijn, anders is het onmogelijk er een zinnig antwoord op te geven. Zonder ijking, zonder eenheid….
En de opties in het enquette stuk over hoogst voltooide opleiding zijn veel te beperkt. Vreemd.
Het is gewoon zo’n testje van grote stappen, gauw thuis.
Ik vond met name de laatste vraag van het testje lastig, omdat ‘heilzaam’ een vreselijk rekbaar begrip is. Is een vaccin dat 1 dode per 1000 burgers voorkomt heilzaam? Een geneesmiddel dat 10.000 mensen levenslang moeten slikken (over bijwerkingen wordt niet gerept) om het aantal doden ten gevolge van een bepaalde aandoening van 10 op 9 te brengen? Bovendien is ‘zeker van het eigen antwoord’ ook lastig, hoewel ik met hoofdrekenen een goede gooi kon doen naar de zogeheten p-waarde. Is ‘net statistisch significant’ te rekenen als ‘zeker’ of begint dat pas bij p=0,000001? En betreft die zekerheid alleen de zogeheten statistische significantie of ook het oordeel over bij welk gezondheidsvoordeel men van heilzaam kan spreken?
Waarschijnlijk probeert het testje na te gaan wat publiek dat wel of niet kan rekenen zoal vindt van vraag 4.
Als het inslikken van het medicijn 16% slachtoffers levert, en niets innemen 10%, dan lijkt me het niet relevant hoe je ‘heilzaam’ precies definieert…
Zelfs als je een ‘onnauwkeurigheid’ van wortel N op de getallen los laat, kom je nog niet eens tot de situatie dat het medicijn een gelijk aantal slachtoffers heeft.
o wat dom, ik had ‘slachtoffer’ en ‘genezen’ omgewisseld. Niet goed gelezen.
Of iets heilzaam is, hangt niet alleen af van de kans op ernstige bijwerkingen, maar ook van de ernst van de kwaal die je wenst te bestrijden of te voorkomen. Een oncolyticum heeft in het algemeen ernstige bijwerkingen, maar kanker is dan ook wel iets om er een paardenmiddel op los te laten. Bij een kwaaltje dat ook vanzelf overgaat, is een ernstige bijwerking natuurlijk niet acceptabel.
Je hebt uiteraard gelijk, maar in dit fictieve verhaaltje kwamen geen bijwerkingen voor. Het middel moest hart aanvallen voorkomen, en het enige vermelde resultaat bij gebruik van het middel zijn extra hart aanvallen. Auw.
Mijn uitslag : “U heeft beter dan ongeveer 35 % van de hoogopgeleide individuen gescoord. Dat betekent dat u een laag tot matig niveau van risico geletterdheid heeft.”
35 % van de hoogopgeleiden doet het nog slechter dan ik. Daar ben ik wel tevreden mee.
Laaggeletterd…??? Wat een rare uitkomst.
Er wordt ‘risico-geletterdheid’ bedoeld. En de categorie tm 35% wordt als ‘laag tot matig’ aangemerkt.
Maar als je beter scoort dan 35% van de hoogopgeleiden, kun je toch nooit tot een risicocategorie behoren voor wat betreft geletterdheid? Nou ja, ik zal het wel niet snappen.
‘Risico-geletterdheid’ is 1 (fantasie?) woord. Ik interpreteer dit als ‘hoe goed ben je in het inschatten van risico’s en hoeveel weet je ervan’. Er is dus geen risicocategorie, alleen een ‘laag tot matig’-categorie.
2012/4/18 Disqus
@maartenkoller:disqus
Ooooh, het is een fantasiewoord! Ik begreep het in de zin van dat je in de categorie viel van personen met een risico op laaggeletterdheid. Maar het betekent “laaggeletterd” zijn voor wat betreft het inschatten van risico’s dan wel kansen. Wat ingewikkeld zeg. Maar ik heb vandaag een hele domme dag, er schijnt weer een zonnevlam te zijn, daar zal het wel door komen.
Ik zat op 65%. Ben benieuwd naar de antwoorden.
Ja, ik zou ze ook graag eens naast elkaar leggen, maar als we dat hier gaan doen verpesten we het voor anderen die eerst commentaar lezen en dan de test pas maken. Beetje jammer.
Misschien is het mogelijk om daar een dummy topic voor aan te maken, waar we van hier uit naar toe linken, om de antwoorden te bediscussiëren?
Een goed idee, ik zal daar het topic van morgen van maken. Ik hoop dat je tot die tijd kan wachten. Ik zit op mijn werk en kan dat nu namelijk niet faciliteren.
[image: DISQUS]
Een nog gemakkelijker idee: Begin hier gewoon de discussie, dan zet ik zometeen wel in het topic iets dergelijks als “In de commentaren hieronder kunnen zich spoilers bevinden aangezien de vragen worden bediscussieert.”
2012/4/18 Maarten Koller
Likewise, identieke score. Er is gelukkig nog ruimte voor verbetering anders had ik helemaal niks te doen. Oh nee wacht…
Ik had ook 65%. Is het niet vreemd dat zoveel mensen dezelfde score hebben?
Bij de vragen over winst/verlies van geld denk ik dat je ‘goed’ wordt gerekend als je alleen naar de verwachtingswaarden kijkt. 100 euro zeker kwijt is dan minder kwijt dan 75% kans op 200 euro kwijt (waarbij men mag aannemen dat de overige 25% kans slaan op niks kwijt, maar dat staat er niet bij). Je kunt het ook zo bekijken. Stel je hebt 75% kans dat je volgend jaar een specifiek soort pech hebt waarbij je 200 euro moet betalen. Nu komt er een verzekeraar die je garandeert dat hij de kosten zal betalen. Die verzekering kost 100 euro (kennelijk kan de verzekeraar lagere prijzen bedingen bij reperateur oid, of de verzekeraar let niet zo op jouw risico en heeft veel andere klanten waarbij die 75% veel minder is). Wat doe je: neem je de verzekering of waag je het erop?
Het wordt pas interessant als de verzekeraar 170 euro vraagt. Dus als het ware 20 euro extra omdat hij je zekerheid biedt. Of als het gaat om een kans van 1% op een schadepost van 100.000 euro. Hoeveel ben je bereid meer te betalen dan de verwachtingswaarde van 1000 euro schade?
Het blijkt dat bij dit soort afkoopsommen de mensen heel ‘irrationaal’ handelen. Als je lootjes krijgt aangeboden van 10 euro, terwijl de verwachte winst maar 2 euro is (maar de maximumprijs 10 miljoen) zou je dan meeloten? En als je wist dat het restant (8 euro) aan goede doelen wordt besteed zoals het ondersteunen van noodlijdende voetballers/kunstgezelschappen of zielige diertjes met grote ogen of aan de plaatselijke carnavalsvereniging, zou dat je beslissing dan veranderen?
Ook in spelsituaties in psychologische labs blijken proefpersonen heel anders aan te kijken tegen ‘zeker verlies’ dan tegen ‘zekere winst’.
Wanneer je die 100 euro verzekeringspremie van zonet ook kunt besteden aan loten in een loterij waarbij je 75% kans op een winst van 200 euro hebt, heb je hetzelfde probleem statistisch gesproken. Statistisch is het wegvallen van een 75% kans op een kostenpost van 200 een voordeel van 150 euro, en het krijgen van een kans van 75% op 200 euro is precies hetzelfde namelijk ook een voordeel van 150 euro. Maar het voelt anders. Als verzekering lijkt het me een goeie deal (hoewel een uitgave van 200 euro me niet armlastig zal maken) maar in de loterijversie denk ik ‘als ik dat lot koop heb 25% kans op gewoon de prijs van het lot kwijt zijn, en 75% kans op een netto voordeel van 100 euro’ en dan lijkt het toch minder de moeite waard. Het vermijden van een nadeel (jakkes) voelt niet hetzelfde als het verkijgen van een even groot voordeel (so what). Maar ik verkeer nu eenmaal niet in de situatie dat het desbetreffende voordeel voor mij ontzettend belangrijk is.
Bij verzekeringen gaat er natuurlijk ook iets anders meespelen…
Je kunt wiskundig rekenen of een zeker verlies van 100 euro per jaar, meer of minder is dan een kleine kans op 40.000 euro schade. Daarbij wordt er geen rekening gehouden dat je die 100 euro per jaar makkelijk kunt betalen, maar je bij 40.000 euro plotseling een probleem hebt.
Je koopt een verzekering om te voorkomen dat je in ernstig financiele problemen komt, ondanks dat je gemiddeld duurder uit bent.
Ok dan, hier mijn antwoorden, met een tikje achtergrond. Schieten maar! Op antwoorden en motivatie….
1. Er zijn 100 mannen lid en 300 geen lid. Dus 400 mannen in totaal. 25% kans dat een man lid is.2. Kan gooien per getal: 1/7 voor elk getal behalve voor 6: 2/7. 2/7 kans bij 70 gooien zou dus 20 keer 6 gooien. Resultaat: 20.3. a 3800 is gewoon meer geld. Geduld opbrengen. Antwoord 2. Je zou de kans op dood gaan in die eerste maand nog mee kunnen rekenen maar heb ik niet gedaan.3 b. 60% kans op 250 zou je, als je vaak voor het dillema stond, kunnen zijn als een gemiddelde uitkomst van 150, wat hoger is dan 100. Men zoekt dus naar antwoord 2. Maar je kunt hierover discussieren. Zekerheid op weinig geld kan meer waard zijn dan misschien veel geld. Het ligt er maar aan hoe hard je het nodig hebt. Geld hoef je niet zo lineair te zien als het lijkt. Je eerste euros zijn veel meer waard dan je miljoen-en-eenste. Maar dat bedoeld men hier vast niet….3 c. Ook weer de tweede optie, tenminste, als je vaak voor het dillemma staat, en zo zal het hier een beetje bedoeld zijn…. 0.75 * 200 = 150 dus dan verlies je gemiddeld meer dan 1004. Van niet-gebruikers overlijdt 80/800 = 1 op de 10 mensen. Van gebruikers 16/100 = 1.6 op de 10 mensen. Het medicijn is dus niet heilzaam, het maakt dat meer mensen overlijden. En daar ben je aardig zeker van op basis van deze getallen. Maar de vage kwantificering die gevraagd wordt blijft bizar….Overigens lijkt het antwoord van vraag 4 geen effect op de uitkomst te geven! Ik heb hem nu voor de grap eens heel anders ingevuld…
Ik vraag me af of “beter dan 90%” de hoogst mogelijke score is, of dat ik nog fouten heb gemaakt.
Bij deze getallen krijg je voor de hypothese ‘het maakt geen verschil’ een eenzijdige p-waarde van 5,35% en een tweezijdige p-waarde van 8,37% .
Het eerste van die getallen geeft de kans aan dat twee ononderscheidbare behandelingen per toeval een nog ongunstiger beeld in de groep van 100 te zien zou geven; het tweede van die twee getallen de kans dat twee ononderscheidbare behandelingen per toeval nog sterker zouden verschillen (dus ook de ander kant op).
Naar alle maatstaven is dit ‘niet significant’. De proef is niet in staat gebleken de hypothese te ontkrachten. Maar als je ‘heilzaam’ geschikt zou definiëren (bijvoorbeeld gemiddeld maar 9 per 100 slachtoffers), dan zou het resultaat ’16 of meer slachtoffers’ bij een proef met 100 personen een berekende kans van maar 1,69% hebben. Zelfs ‘heilzaam = 10 per 100’ levert 3,99% op die manier.
Dat het bij deze proef anders uitkomt is omdat je eigenlijk een situatie van 96 slachtoffers op 900 hebt als je nog niet weet of er een verschil is.
Deze vraag speelt zich af op de grens van wat ‘statistisch significant’ wordt genoemd.
Ik zat ook boven de 90% toen ik het testje een aantal dagen geleden maakte. Maar ik moet bij die multiple choice vragen ook wel altijd nadenken om het antwoord te geven dat hoogstwaarschijnlijk als goed gerekend wordt door de opstellers. Dat is niet altijd het antwoord dat ik zelf ook als correct zou zien.
De medicijnvraag geeft informatie die suggereert dat het middel helemaal niet heilzaam is (1). Er ontbreekt zoveel informatie dat deze conclusie helemaal niet zeker is (1). Dat geeft met de overige antwoorden ‘correct’ beantwoord beter dan 90% etc.
Alle antwoorden hetzelfde, maar het tweede antwoord van de medicijnvraag vervangen door zeer zeker (7) geeft dezelfde score. Het eerste antwoord van de medicijnvraag vervolgens ook vervangen door zeer zeker (7) geeft dezelfde score.
Hee, hoor ik ergens een geit mekkeren?
Precies wat ik dacht: de test is bedoeld om informatie te krijgen over wat mensen bij vraag 4 zeggen, en of het wat uitmaakt of ze kunnen en willen rekenen.
Stel dat 10% van de hoogopgeleiden álle vragen hebben beaantwoord. Dan kan je natuurlijk met alle inspanningen noit nog beter zijn dan de verblijvende 90%.