Engels - UK vlag 30x24

Opmerkelijke verhoudingen van de oppervlakten van driehoeken?

Wisknutselen

Het idee achter het zoeken naar wiskundige constructies is dat dat een geschikte manier zou kunnen zijn om met buitenaardsen te communiceren, wiskunde is immers niet erg afhankelijk van taal. Een plaatje van de stelling van Pythagoras zal voor een andere geavanceerde beschaving ook wel herkenbaar zijn. Of de rij priemgetallen zoals in Contact van Carl Sagan.

Wat Crater en consorten allemaal beweren over de vijf (of zes) punten is iets beter te volgen als je een schematische weergave maakt van het geïdealiseerde patroon dat zij menen te zien (de lettertjes r,s en t heb ik er maar even aan toegevoegd):

Wat je nu eigenlijk alleen maar moet weten is dat de zijden van de grote rechthoek (PtBr) tot elkaar in de verhouding √2:1 staan. Als je deze rechthoek halveert, kijk bijvoorbeeld naar de rechthoek tBsG, dan heeft ook die weer dezelfde verhouding – en ook weer de rechthoek die daar de helft van is, EABs. Dit is kenmerkend voor de papiermaten die wij kennen als A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6 enz. OK, leuk. Maar nu gaan Crater en zijn maten pas echt lekker los.
Eerst even zoeken naar wat priemgetallen. Stellen we de oppervlakte van driekhoek DAB op 1, dan heeft de driehoek EDA oppervlakte 2, de driehoek DAG oppervlakte 3, de vijfhoek BDEGA oppervlakte 5 en het figuur met de hoekpunten BDEPGA oppervlakte 7. Zie hier het begin van de priemgetallenrij 1, 2, 3, 5, 7 aldus de heren. Een wiskundige als ikzelf begint vermoedelijk al met gekromde tenen verder te lezen als iemand stelt dat 1 een priemgetal is, maar het valt natuurlijk ook meteen op dat ze hier wel erg selectief te werk gaan. Waarom niet ook de vierhoek DEGA met oppervlakte 4 meegenomen (die noemen ze overigens wel, ook met oppervlakte, maar nemen ze niet op in het rijtje), of de vijfhoek DEPGA met oppervlakte 6?
De getallen 2,4 en 6 gebruiken de wisknutselaars wel weer om het volgende te beweren:

Then starting with the prime number 3 from the sum 1+2, all of the prime numbers from 5 through 89 can be obtained by adding the three even numbers 2 or 4 or 6 corresponding to the squares of the sides of the middle sized right triangle (which of course satisfy 2+4=6). So, 3+2=5, 5+2=7, 7+4=11, 11+2=13, 13+4=17, 17+2=19, 19+4=23, 23+6=29, 83+6=89.

Bij 89 houdt het op, want het volgende priemgetal, 97, ligt immers 8 verder dan 89. Wat willen de auteurs hier nu mee beweren? Dit kan je immers altijd opschrijven als je ergens de getallen 1 t/m 7 vindt, bijvoorbeeld in Nijntje leert tellen. En waarom 2, 4 en 6? Nou, kijk eerst naar de kleinste rechthoekige driekhoek BDA en stel BD gelijk aan 1. Dan is AB √2 en AD √3  (Pythagoras).  De driehoek AEG heeft dezelfde vorm (‘middle sized right triangle’), maar is een maatje (√2) groter en heeft zijden met lengte √2, √4 en √6, en daar heb je dus die 2,4 en 6. Logisch, toch?

Iets met elektronspin is ook wel terug te vinden in het patroon.

Maar het wordt allemaal nog veel erger. Die √2 die in de verhouding van ons A4-tje naar voren komt, kun je ook wel terugvinden in driedimensionale figuren, bijvoorbeeld een tetraëder. Met een beetje uitproberen kun je een gedeelte van het patroon dan weer terugvinden in een doorsnijding daarvan, of de voorkomende hoeken in de ‘breedtegraad’ waarop de basis van de tetraëder ligt in de omschreven bol. Tsja. Je zou nu even goed kunnen nadenken over wat dat kan betekenen, maar de auteurs schotelen je alweer een ander mirakel voor: met die √2 lukt het je ook om een projectie van elektronenspin precies op het plaatje af te beelden! Ik zal u de details maar besparen.
Ik snap overigens wel waarom de auteurs die tetraëder er met de haren bijslepen. De Platonische lichamen, waartoe de tetraëder behoort, zijn net als de priemgetallen wel geopperd als duidelijk herkenbaar wiskundig materiaal, dat geschikt zou zijn om een betekenisvol signaal richting aliens te sturen. Maar dat is volgens mij toch wel iets anders dan ergens een √2 in verstoppen.

Hoe creëer je zoiets?

Op basis van de hoge resolutie beelden wist een bevriende geoloog de auteurs te vertellen dat de heuvels waarschijnlijk de restanten van moddervulkanen zijn. Die hebben dan wel een natuurlijke oorsprong, maar, zo redeneren de auteurs, als wij op aarde al per ongeluk een moddereruptie kunnen veroorzaken, dan zouden hoogontwikkelde aliens dat vast wel met voorbedachte rade en op een gekozen locatie kunnen doen. Ze wijzen dan op de ramp in Sidoarjo, Indonesië, waar uit een boorgat al sinds 2006 een enorme hoeveelheid modder stroomt. En ja, als er al een aantal heuvels op de goeie plek zitten, hoef je het patroon misschien alleen maar aan te vullen met een paar kunstmatig veroorzaakte vulkanen. Is dan wel weer mazzel dat er later niet nieuwe heuvels zijn onstaan op de plek waar je je patroon aan het creëren was. Die zouden het hele schema in het honderd hebben doen lopen …

Hoe precies is het patroon?

Uiteindelijk draait het toch om die vraag. Op de foto’s van de Vikings had de kleinst waarneembare structuur een afmeting van ongeveer honderd meter, maar het nieuwere beeldmateriaal heeft een veel groter oplossend vermogen (5 m per pixel). Het is misschien slim om zelf eens te kijken op dat beeldmateriaal dat beschikbaar is gekomen. Hieronder de foto van de regio genomen door de Mars Orbiter in 2014 (klik voor een uitvergroting):

De 6 punten waarop het artikel gebaseerd is tov het “Marsgezicht” [foto: MRO HiRISE CTX D21_035487_2215_XN_41N009W]